Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為( )

A.2
B.2.4
C.2.6
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AP最短時(shí)的長，然后即可求出AM最短時(shí)的長．

連結(jié)AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，
∴AM=AP，
根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，
即AP⊥BC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，△ABP∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴AP最短時(shí)，AP=4.8
∴當(dāng)AM最短時(shí)，AM==2.4．
故選B．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．