Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過D點作DF⊥AC于F，有下列結(jié)論：
①DE=DC；②DF為⊙O的切線；③劣弧DB=劣弧DE；④AE=2EF
其中正確的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：連接OD，AD，OE，首先由AB是⊙O的直徑，得出AD⊥BC，推出BD=DC，有等腰三角形的性質(zhì)：三線合一可推出DE=DC；進而得到劣弧DB=劣弧DE；因為0A=OB推出OD是△ABC的中位線，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線；如果AE=2EF，則AE=CE，OE=BC=BD，所以△OBD為等邊三角形，而題目的條件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成．
解答：解：連接OD，AD，OE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴AD⊥BC；
∵在△ABC中，AB=AC，
∴AD是邊BC上的中線，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC，
∴BD=DE，劣弧DB=劣弧DE故①③正確；
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線，故②正確；
假設AE=2EF，
∵∠B=∠C，∠DEC=∠B，
∴∠C=∠DEC，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴OE=BC，
∵OE=OB，
0B=BD=OD，
∴△ODB是等邊三角形，
因為題目的條件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成了，
∴正確的結(jié)論有②③．
故選A．
點評：此題考查的知識點是切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關鍵是運用等腰三角形性質(zhì)及圓周角定理及切線性質(zhì)作答．