Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．動點P、Q同時以每秒1cm的速度分別從A、C出發(fā)，點P沿A→B→C的路線、點Q沿C→B→A的路線勻速運動，過點Q做QE⊥CD，交折線CDA于點E，設(shè)點P的運動時間為t，△PQE的面積為S．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t=3秒時，求S的值；
（3）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出△PQE為直角三角形時t的取值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABD中，由∠A=60°，BD⊥AD就可以得出∠ABD=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)就可以得出AB的值；
（2）當(dāng)t=3時，作QF⊥AB的延長線于點F，由30°直角三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出BF、EQ的值，由三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）分類討論，當(dāng)0≤t≤4 如圖1，②當(dāng)4＜t≤6 如圖2，③當(dāng)6＜t≤8 如圖3，④當(dāng)8＜t≤10 如圖4，⑤當(dāng)10＜t≤12 如圖5，分別根據(jù)三角形的面積公式就可以求出S的表達(dá)式；
（4）由（3）可以知道，如圖2和如圖3可以知道當(dāng)∠PQE=90°時t的值，如圖5，當(dāng)∠QEP=90°時，作PF⊥AB的延長線于F，就可以得到四邊形QFPE是矩形，由其性質(zhì)可以得出QE=PF，就有

3

(12-t)=

3

×

t-8

2

就可以求出t的值．

解答：解：（1）∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°
∴AB=

AD

cos60°

=8．

（2）當(dāng)點P運動3秒時，AP=CQ=3，PB=5，
∴BQ=1，
由∠A=60°，知BF=

1

2

，EQ=

3 3

2

．
∴S_△PQE=

1

2

•EQ•PF=

1

2

•

3 3

2

•(5+

1

2

)=

33 3

8

．

（3）①當(dāng)0≤t≤4 時，如圖1，
∴AP=CQ=t，PB=8-t．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C=60°，AD=BC=4，AB=CD=8，
∵QE⊥CD，
∴∠QEC=90°，
∴∠EQC=30°，
∴EC=

1

2

t，EQ=

3

2

t，
∴FB=

4-t

2

．
∴S=

1

2

•

3

2

t•(8-t+

4-t

2

)=-

3 3

8

t2+

5 3

2

t；
②當(dāng)4＜t≤6 時，如圖2，
S=

1

2

•2

3

•(12-2t)=-2

3

t+12

3

；
③當(dāng)6＜t≤8時，如圖3，
S=

1

2

•2

3

•(2t-12)=2

3

t-12

3

；
④當(dāng)8＜t≤10時，如圖4
S=

1

2

•2

3

(t-4+

t-8

2

)=

3 3

2

t-8

3

；
⑤當(dāng)10＜t≤12時，如圖5，
AQ=12-t，QE=

3

（12-t），
∴S=

1

2

•

3

(12-t)(t-4+

t-8

2

)=-

3 3

4

t2+13

3

t-48

3

 
（4）由題意，得
如圖2，4≤t＜6時，△PQE為直角三角形，
如圖3，6＜t≤8時，△PQE為直角三角形，
如圖5，當(dāng)∠PQE=90°時，作PF⊥AB的延長線于F，
∴∠PFB=90°，
∴四邊形QFPE是矩形，
∴QE=PF，
∴

3

(12-t)=

3

×

t-8

2

，
∴t=

32

3

．

點評：本題是一道有關(guān)四邊形的動點問題的綜合試題，考查了30°的直角三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，平行四邊形的性質(zhì)的運用，矩形的判定及性質(zhì)的而運用．