如圖,四邊形ABCD中,AB=5cm,CB=3cm.∠DAB=∠ACB=90°.AD=CD,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于E點(diǎn).
(1)求CD的長(zhǎng)度;
(2)已知一動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)沿射線DE運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,問當(dāng)t為何值時(shí),△CDP與△ABC相似.
分析:(1)首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng),再根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB,從而利用有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似,得到△DFA∽△ACB,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及AD=CD即可求出AD的長(zhǎng);
(2)因?yàn)椤螩DP=∠CAB,所以要使△CDP與△ABC相似,則應(yīng)有∠DPC或∠DCP=90°,再分別就∠DCP=90°和∠DPC=90°分別討論求出符合題意的t值即可.
解答:解:(1)∵AB=5cm,CB=3cm,∠ACB=90°,
∴AC=
AB2-BC2
=4cm,
∵AD=CD,DE⊥AC,
∴AF=FC,∠CDF=∠ADF,
∵∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠DAC=∠ABC,
∵∠DAB=∠ACB=90°,
∴△DFA∽△ACB,
AD
AB
=
AF
AC
,
AD
5
=
2
3
,
∴CD=AD=
10
3
cm;

(2)∵∠CDP=∠CAB,
∴所以要使△CDP與△ABC相似,則應(yīng)有∠DPC或∠DCP=90°,
①當(dāng)∠DPC=90°時(shí),點(diǎn)P于點(diǎn)F重合,
∴t=
DF
2
=
4
3
(s),
②當(dāng)∠DCP=90°時(shí),點(diǎn)P于點(diǎn)E重合,
∴t=
DE
2

∵F是AC的中點(diǎn),EF∥BC,
∴AE=EB=
5
2
,EF=
3
2

∵DE=DF+EF,
∴DE=
25
6
,
∴t=
DE
2
=
25
2
(s),
綜上可知:當(dāng)t為
4
3
s或
25
12
s時(shí)△CDP與△ABC相似.
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的運(yùn)用,題目的難點(diǎn)在于分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.
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(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對(duì)角線、周長(zhǎng)、面積等入手.)

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(Ⅱ)若將條件中的“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上任意一點(diǎn)”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

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