Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接AP、，BF⊥AP于H，CP、BH延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AD邊于點(diǎn)E、F。

（1）求證：∠DAP=∠DCE

（2）求證：AE=FD

（3）猜想∠APE與∠FBD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）證明△ADP≌△CDP，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得∠DAP=∠DCE；

（2）證明ΔABF≌ΔDCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE，繼而可證得答案；

（3）猜想：∠APE=2∠FBD，連接AC，由△ADP≌△CDP，可得AP=CP，繼而可推導(dǎo)得出∠APE=2∠ACP，然后再證明∠FBD=∠ECA即可得到.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，

在△ADP和△CDP中，

，

∴△ADP≌△CDP，

∴∠DAP=∠DCE；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=DC，

∴∠ABF+∠AFB=90°，

∵AP⊥BF，

∴∠AHF=90°，

∴∠HAF+ ∠AFB=90°，

∴∠ABF= ∠HAF，

∵∠DAP= ∠DCE，

∴∠ABF=∠DCE，

在ΔABF和ΔDCE中

，

∴ΔABF≌ΔDCE，

∴AF=DE，

∴AF+EF=DE+EF，

即AE=FD；

（3）猜想：∠APE=2∠FBD，理由如下：

連接AC，

由（1）知：△ADP≌△CDP，

∴AP=CP，

∴∠PAC=∠PCA，

∴∠APE=2∠ACP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠DCA=45°，

∴∠ABD－∠ABF=∠DCA－∠DCE，

即∠FBD=∠ECA，

∴∠APE=2∠FBD.