如圖,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),AC=BC,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=CA.若DE=acm,BD=bcm(a>b),則CD=
a-b
a-b
cm.
分析:在DE上截取DF=CD,先求出∠DAB=∠DBA=30°,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AD=BD,再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACD=∠BCD,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CDE=60°,從而判定出△CDF是等邊三角形,再求出∠ECF=∠ACD=45°,利用“邊角邊”證明△ACD和△ECF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=EF,然后求解即可.
解答:解:如圖,在DE上截取DF=CD,
∵∠CAD=∠CBD=15°,等腰直角△ABC中AC=BC,
∴∠DAB=∠DBA=45°-15°=30°,
∴AD=BD,
在△ACD和△BCD中,
AC=BC
∠CAD=∠CBD=15°
AD=BD

∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴∠ACD=∠BCD=
1
2
×90°=45°,
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
∴△CDF是等邊三角形,
∴∠ECF=180°-15°×2-45°-60°=45°,
∴∠ECF=∠ACD,
在△ACD和△ECF中,
AC=CE
∠ECF=∠ACD
CD=CF

∴△ACD≌△ECF(SAS),
∴EF=AD,
∵DE=acm,BD=bcm,
∴CD=DF=DE-AD=a-b.
故答案為:a-b.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等角對(duì)等邊的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定,等邊三角形的判定與性質(zhì),難度較大,作輔助線構(gòu)造出等邊三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠CAD=∠CBD=15°.
(1)求證:AD=BD;
(2)E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=CA,求證:AD+CD=DE;
(3)當(dāng)BD=2時(shí),AC的長為
 
.(直接填出結(jié)果,不要求寫過程)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=CA.
(1)求證:DE平分∠BDC;
(2)若點(diǎn)M在DE上,且DC=DM,求證:ME=BD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•梁子湖區(qū)模擬)如圖,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=CA.若點(diǎn)M在DE上,且DC=DM,試探究線段ME與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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如圖,已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,EAD延長線上的一點(diǎn),且CECA

(1)求證:DE平分∠BDC;

(2)若點(diǎn)MDE上,且DC=DM,求證: ME=BD

 

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