Question

（2013年四川資陽8分）在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．

（1）如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；

（2）如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，則AE=AC=×2=1。

∵翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，∴OE=r。

在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，即r²=1²+（r）²，

解得r=。

（2）連接BC，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°。

∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°。

根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角等于所對的圓周角

∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°。

【解析】（1）過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，根據(jù)垂徑定理可得AE=AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解。

 

（2）連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到所對的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角，計算即可得解。

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題），垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，直角三角形兩銳角的關(guān)系。