Question

【題目】如圖1，對(duì)稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過(guò)B（2，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；
（3）如圖2，若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由對(duì)稱性得：A（﹣1，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，4）代入：4=﹣2a，

a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴拋物線的解析式為：y=﹣2x2+2x+4；

（2）

解：如圖1，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m2+2m+4），過(guò)P作PD⊥x軸，垂足為D，

∴S=S梯形+S△PDB= m（﹣2m2+2m+4+4）+ （﹣2m2+2m+4）（2﹣m），

S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，則S大=6；

（3）

解：存在這樣的點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形，

理由是：

分以下兩種情況：

①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖：

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ．

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），

把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+4，

設(shè)M（m，﹣2m+4），

則MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，

在Rt△OBC中，BC= = =2 ，

∵M(jìn)Q∥OC，

∴△BMQ∽BCO，

∴ ，即 ，

∴BM= （2﹣m）=2 ﹣ m，

∴CM=BC﹣BM=2 ﹣（2 ﹣ m）= m，

∵CM=MQ，

∴﹣2m+4= m，m= =4 ﹣8．

∴Q（4 ﹣8，0）．

②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3，

同理可設(shè)M（m，﹣2m+4），

過(guò)A作AE⊥BC，垂足為E，

∴∠EAB=∠OCB，

∴sin∠EAB= ，

∴ ，

∴BE= ，

過(guò)E作EF⊥x軸于F，

sin∠CBO= ，

∴ ，

∴EF= ，

由勾股定理得：BF= = ，

∴OF=2﹣ = ，

∴E（ ， ），

由A（﹣1，0）和E（ ， ）可得：

則AE的解析式為：y= x+ ，

則直線BC與直線AE的交點(diǎn)E（1.4，1.2），

設(shè)Q（﹣x，0）（x＞0），

∵AE∥QM，

∴△ABE∽△QBM，

∴ ①，

由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②，

由以上兩式得：m1=4（舍），m2= ，

當(dāng)m= 時(shí)，x= ，

∴Q（﹣ ，0）．

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ﹣8，0）或（﹣ ，0）．

【解析】（1）由對(duì)稱軸的對(duì)稱性得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡(jiǎn)后是一個(gè)關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；（3）畫出符合條件的Q點(diǎn)，只有一種，①利用平行相似得對(duì)應(yīng)高的比和對(duì)應(yīng)邊的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直△CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍．