【題目】如圖1,△ABC和△DEC均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,連接BE,AD,兩條線段所在的直線交于點(diǎn)P.
(1)線段BE與AD有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請說明理由.
(2)若已知BC=12,DC=5,△DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長線上時,求AP的長;
②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中,設(shè)△PAB的面積為S,求S的最值.
【答案】(1)BE=AD,BE與AD互相垂直,證明詳見解析;(2)①AP=;②最小47,最大72
【解析】
(1)由題意根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),進(jìn)行分析與等量代換即可;
(2)①由題意根據(jù)解直角三角形的勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析即可;
②由∠APB=90°可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓的一段弧上,且當(dāng)BP與以CE為半徑⊙C相切時,點(diǎn)P在其運(yùn)動路徑所在弧的兩個端點(diǎn)處,P到AB的距離最小,此時△PAB的面積S最。划(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時,P到AB的距離最大,此時△PAB的面積S最大.
解:(1)BE=AD,BE與AD互相垂直;
證明:∵等腰△ABC,等腰Rt△DEC,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE,
∴BE=AD,∠CAD=∠CBE,
∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB,
∴∠APB=∠ACB=90°,即BE與AD互相垂直.
(2)①∵AB=BC=12,DC=EC=5,
∴AE=AC-EC=12-5=7,
Rt△BCE中,BE=,
由(1)同理可知∠APB=∠ACB=90°,∠CAD=∠CBE,
∴△APE∽△BCE,
∴,即,解得AP=.
②由∠APB=90°可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓的一段弧上,且當(dāng)BP與以CE為半徑⊙C相切時,點(diǎn)P在其運(yùn)動路徑所在弧的兩個端點(diǎn)處,P到AB的距離最小,此時△PAB的面積S最小。如圖1、2,易知四邊形PDCE是邊長為5的正方形.
∴ BE=AD=,BP=BE+PE=,AP=AD-PD=,
∴S(最小值)=×AP×BP=,
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時,P到AB的距離最大,此時△PAB的面積S最大,如圖3
S(最大值)=×AC×BC=×12×12=72.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(,1)在射線OM上,點(diǎn)B(,2)在射線ON上,以AB為直角邊作Rt△ABA1,以BA1為直角邊作第二個Rt△BA1B1,然后以A1B1為直角邊作第三個Rt△A1B1A2,…,依次規(guī)律,得到Rt△B2019A2020B2020,則點(diǎn)B2020的縱坐標(biāo)為_____.
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【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機(jī)的普及,外賣點(diǎn)餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費(fèi)習(xí)慣.由此催生了一批外賣點(diǎn)餐平臺,已知某外賣平臺的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)(該平臺只給5千米范圍內(nèi)配送),為調(diào)査送餐員的送餐收入,現(xiàn)從該平臺隨機(jī)抽取80名點(diǎn)外賣的用戶進(jìn)行統(tǒng)計,按送餐距離分類統(tǒng)計結(jié)果如下表:
送餐距離x(千米) | 0x1 | 1x2 | 2x3 | 3x4 | 4x5 |
數(shù)量 | 12 | 20 | 24 | 16 | 8 |
(1)從這80名點(diǎn)外賣的用戶中任取一名用戶,該用戶的送餐距離不超過3千米的概率為 ;
(2)以這80名用戶送餐距離為樣本,同一組數(shù)據(jù)取該小組數(shù)據(jù)的中間值(例如第二小組(1<x ≤2)的中間值是1.5),試估計利用該平臺點(diǎn)外賣用戶的平均送餐距離;
(3)若該外賣平臺給送餐員的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān),不超過2千米時,每份3元;超過2千米但不超4千米時,每份5元;超過4千米時,每份9元. 以給這80名用戶所需送餐費(fèi)用的平均數(shù)為依據(jù),若送餐員一天的目標(biāo)收入不低于150元,試估計一天至少要送多少份外賣?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=,小亮通過觀察得出了下面四條信息:①,②abc<0,③4a+2b+c>0,④2a+3b=0.你認(rèn)為其中正確的有_________________.
A.①②B.②④C.①③D.③④
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,直線與軸和軸分別交于點(diǎn),,若拋物線與直線有兩個不同的交點(diǎn),其中一個交點(diǎn)在線段上(包含,兩個端點(diǎn)),另一個交點(diǎn)在線段上(包含,兩個端點(diǎn)),則的取值范圍是
A. B. 或C. D. 或
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【題目】為了做好開學(xué)準(zhǔn)備,某校共購買了20桶A、B兩種桶裝消毒液,進(jìn)行校園消殺,以備開學(xué).已知A種消毒液300元/桶,每桶可供2 000米2的面積進(jìn)行消殺,B種消毒液200元/桶,每桶可供1 000米2的面積進(jìn)行消殺.
(1)設(shè)購買了A種消毒液x桶,購買消毒液的費(fèi)用為y元,寫出y與x之間的關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)在現(xiàn)有資金不超過5 300元的情況下,求可消殺的最大面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:,直線,在直線上取一點(diǎn),使,以點(diǎn)為對稱中心,作點(diǎn)的對稱點(diǎn),過點(diǎn)作∥,交軸于點(diǎn),作∥軸,交直線于點(diǎn),得到四邊形;再以點(diǎn)為對稱中心,作點(diǎn)的對稱點(diǎn),過點(diǎn)作 ∥,交軸于點(diǎn),作∥軸,交直線于點(diǎn),得到四邊形;…;按此規(guī)律作下去,則四邊形的面積是___________.
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【題目】如圖,O是正方形ABCD邊上一點(diǎn),以O為圓心,OB為半徑畫圓與AD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作⊙O的切線交CD于F,將△DEF沿EF對折,點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D'恰好落在⊙O上.若AB=6,則OB的長為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,0).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像上的動點(diǎn),連接CD、CF,以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF,設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S.
①求S的最大值;
②在點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖像上時,請直接寫出此時S的值.
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