Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊由A向B以1cm/秒的速度勻速移動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CD以2cm/秒的速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．連接AQ，交BD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P出發(fā)多少時(shí)間后，∠BEP=∠BEQ？
（2）設(shè)△APE的面積為ycm²，AP=xcm，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．
（3）當(dāng)4＜x＜8時(shí)，求函數(shù)值y的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，BE=BE，得出△PEB≌△QE，B即可得出PB=BQ求出即可；
（2）分別利用當(dāng)0＜x≤4時(shí)，以及當(dāng)4＜x＜8，Q在CD上，利用相似三角形性質(zhì)得出NE的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出△APE的面積；
（3）利用當(dāng)4＜x＜8時(shí)，由y=

16x

12-x

，得x=

12y

16+y

，即可得出16+y＜3y＜2（16+y），求出即可．

解答：解（1）如圖1，AP=xcm，BQ=2xcm，
當(dāng)∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，
∵

∠BEP=∠BEQ BE=BE ∠PBE=∠EBQ

，
∴△PEB≌△QEB（ASA），
∴PB=BQ，即8-x=2x，
解得：x=

8

3

，
∴出發(fā)

8

3

秒后，∠BEP=∠BEQ；        
         
（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2，Q在BC上，過(guò)E作EN⊥AB，EM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△QEB，
∴

AD

BQ

=

AE

EQ

=

8

2x

=

4

x

，
∴

AE

EQ

=

4

x

，
∴

AE

AQ

=

4

x+4

，

NE

BQ

=

AE

AQ

，
∴NE=2x•

4

x+4

=

8x

4+x

，
∴S_△APE=

1

2

AP•EN=

1

2

x•

8x

4+x

=

4x2

x+4

，
即y=

4x2

x+4

（0＜x≤4），
當(dāng)4＜x＜8，Q在CD上，作QF⊥AB于F，交BD于H （如圖3）
DQ=HQ=16-2x，
∵AD∥FQ，
∴△ADE∽QHE，
∴

AE

EQ

=

AD

QH

=

8

16-2x

=

4

8-x

，
∴

AE

AQ

=

4

8-x+4

=

4

12-x

，
作EN⊥AB，
∵NE∥FQ，
∴△ANE∽△AFQ，
∴

NE

QF

=

AE

AQ

，
∴NE=

32

12-x

，
∴S_△APE=

1

2

AP•EN=

1

2

x•

32

12-x

=

16x

12-x

，
即y=

16x

12-x

（4＜x＜8）；
                  
（3）當(dāng)4＜x＜8時(shí)，由y=

16x

12-x

，
得x=

12y

16+y

，
由4＜x＜8，
可得4＜

12y

16+y

＜8，
∵y＞0，
∴16+y＞0，
∴4（16+y）＜12y＜8（16+y），
16+y＜3y＜2（16+y），
即

3y＞y+16 3y＜2(y+16)

，
解得：8＜y＜32，
當(dāng)4＜x＜8時(shí)，8＜y＜32．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及不等式組的解法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ANE∽△AFQ，△AED∽△QEB，進(jìn)而得出NE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．