Question

探索勾股定理時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和（或差）的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱為面積法．請(qǐng)你運(yùn)用面積法求解下列問(wèn)題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高．
（1）若BD=h，M是直線BC上的任意一點(diǎn)，M到AB、AC的距離分別為h₁，h₂．
A、若M在線段BC上，請(qǐng)你結(jié)合圖形①證明：h₁+h₂=h；
B、當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，h₁，h₂，h之間的關(guān)系為

 

．（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）
（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l₁：y=

3

4

x+6；l₂：y=-3x+6．若l₂上的一點(diǎn)M到l₁的距離是3，請(qǐng)你利用以上結(jié)論求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AM，由于S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，而AB=AC，因此即可證明結(jié)論；
（2）由題意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
當(dāng)點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為3，此時(shí)可求得M的坐標(biāo)；
當(dāng)點(diǎn)M在射線FE上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為9，此時(shí)可求得M的坐標(biāo)故點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

解答：（1）證明：連接AM，
①∵S_△ABC=S_△ABM+S_△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，
∴

1

2

AC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂，
又∵AB=AC，
∴h=h₁+h₂，（2分）
h₁-h₂=h；（3分）
故答案為：h₁-h₂=h．

（2）由題意可知，DE=DF=10，
∴△EDF是等腰三角形，（4分）
當(dāng)點(diǎn)M在線段EF上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，
∵h(yuǎn)=EO=6，
∴M到DF（即x軸）的距離也為3，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，此時(shí)可求得M（1，3），（6分）
當(dāng)點(diǎn)M在射線FE上時(shí)，依據(jù)（1）中結(jié)論，
∵h(yuǎn)=EO=6，∴M到DF（即x軸）的距離也為9，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為9，此時(shí)可求得M（-1，9），（8分）
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）或（-1，9）．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，題目要求學(xué)生有較高的綜合解題能力，把幾何圖形的結(jié)論利用到函數(shù)圖象中解決問(wèn)題．