Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）．

（1）如圖①，若直線AB∥OC，AB上有一動點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

時，有PO=PC；
（2）如圖②，若直線AB與OC不平行，則在過點(diǎn)A的直線y=-x+4上是否存在點(diǎn)P，
使∠OPC=90°，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)P在直線y=kx+4上移動時，只存在一個點(diǎn)P使得∠OPC=90°，試求出此時y=kx+4中k的值是多少．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），（5，4），直線AB∥OC，P在直線AB上，所以P的縱坐標(biāo)為4，又因PO=PC，所以P在OC的垂直平分線上，所以P的橫坐標(biāo)為5，即P（5，4）；
（2）因?yàn)椤螼PC=90°，所以P在以O(shè)C為直徑的圓上，作PD⊥OC于D，因?yàn)镻在過點(diǎn)A的直線y=-x+4上，所以可設(shè)P（x，-x+4），利用射影定理可得到PD²=OD•CD，即（-x+4）²=x（10-x），解之即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=kx+4上移動時，只存在一個點(diǎn)P使得∠OPC=90°，所以需分兩種情況討論：
①當(dāng)直線過二、四象限時，B、C重合，直線過點(diǎn)（10，0），把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求出k的值；
②當(dāng)直線過一、三象限時，此時直線與圓相切，設(shè)圓心為D，則DP=5，DP⊥BP，即∠P=∠AOB=90°，可求出k的值．

解答：解：（1）（5，4）．

（2）如圖所示，
PD⊥OC于D，設(shè)P（x，-x+4），
PD²=OD•CD，（-x+4）²=x（10-x），
解得：x=1或8，
∴P（1，3）或P（8，-4）．



（3）分兩種情況：
①如圖Ⅰ，
則0=k×10+4，則k=-

2

5

；
②如圖Ⅱ，
易證明△AOB∽△DPB，
則

4

5

=

x2+42

-x+5

，得x=-

160

9

B（-

160

9

，0），k=

9

40

，
∴k=-

2

5

或

9

40

．

點(diǎn)評：解決本題這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．