Question

已知：拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10與x軸交于A、B兩點(diǎn)，C是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）用配方法求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）“若AB的長(zhǎng)為2

2

，求拋物線的解析式．”解法的部分步驟如下，補(bǔ)全解題過(guò)程，并簡(jiǎn)述步驟①的解題依據(jù)，步驟②的解題方法；
解：由（1）知，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（

 

，0）
∵拋物線的對(duì)稱性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=2

2

．
∵點(diǎn)A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h(yuǎn)=x_C=x_D，將|xA-xD|=

2

代入上式，得到關(guān)于m的方程0=(

2

)2+(      )②
（3）將（2）中的條件“AB的長(zhǎng)為2

2

”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）將所給的二次函數(shù)解析式配成完全平方式即可；
（2）①題中，點(diǎn)A在拋物線的圖象上，因此A點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足此函數(shù)解析式；而②所用的顯然是代入法；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D；由于拋物線開(kāi)口向上，且與x軸有交點(diǎn)，那么頂點(diǎn)C必在x軸下方，所以C點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0，由此可求出m的取值范圍；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求出CD的長(zhǎng)度；而△ABC是等邊三角形，那么在Rt△ACD中，CD=

3

AD，由此可求出AD的長(zhǎng)；設(shè)A（x_A，0），將其代入拋物線的解析式中，即可得到0=（x_A-h）²+k，此式中，h與C點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，因此|x_A-h|其實(shí)就是AD的長(zhǎng)，在（1）題中，通過(guò)配方已經(jīng)求得了k的值，即可得到關(guān)于m的方程，然后配成（2）②的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及m的取值范圍即可求出m的值，從而確定拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²-4m-14，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，-4m-14）．

（2）由（1）知，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（m+2，0），
∵拋物線的對(duì)稱性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=

2

．
∵點(diǎn)A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h(yuǎn)=x_C=x_D，將|xA-xD|=

2

代入上式，
得到關(guān)于m的方程0=（

2

）²+（-4m-14）②
解得m=-3，
當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線y=x²+2x-1與x軸有交點(diǎn)，
且AB=2

2

，符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+2x-1．
步驟①的解題依據(jù)：拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式；
步驟②的解題方法：代入法

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴由（1）知CD=|-4m-14|=4m+14（-4m-14＜0），
AD=DB=

1

3

CD=

1

3

（4m+14）（-4m-14＜0），
∵點(diǎn)A（x_A，0）在拋物線上，
∴0=（x_A-h）²+k．
∵h(yuǎn)=x_C=x_D，將|x_A-x_D|=

1

3

（4m+14）代入上式，
得0=

1

3

（4m+14）²-4m-14，
∵-4m-14＜0，
∴

1

3

（4m+14）-1=0，
解得m=-

11

4

，
當(dāng)m=-

11

4

時(shí)，拋物線y=x²+

3

2

x-

39

16

與x軸有交點(diǎn)，且符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+

3

2

x-

39

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用配方法求二次函數(shù)解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，正確理解材料的解題思路是解答此題的關(guān)鍵．