Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．
（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)的△AGC；（不要求寫(xiě)畫(huà)法）
（2）在AG邊上找一點(diǎn)D，使得BD的中點(diǎn)E滿足CE=AD．請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)作出圖形，并寫(xiě)出你的簡(jiǎn)要作圖步驟；（只能利用直尺畫(huà)直線不能測(cè)量線段長(zhǎng)度）
（3）在（1）、（2）和未添加輔助線及其他字母的條件下，直接寫(xiě)出圖中與∠ABC相等的角，要求該角以C點(diǎn)為頂點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）所畫(huà)△AGC見(jiàn)圖．
（2）所畫(huà)圖形見(jiàn)圖．
作圖簡(jiǎn)要步驟如下：
（1）作AC的垂直平分線，交AC于F點(diǎn)．
（2）連接BF并延長(zhǎng)，交AG于D點(diǎn)．
（3）作BD的垂直平分線，交BD于E點(diǎn)，連接CE．
則D點(diǎn)和E點(diǎn)為所求．
（3）在（1）、（2）和未添加輔助線及其他字母的條件下，圖中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)，且與∠ABC相等的角的是∠BCE．
分析：（1）延長(zhǎng)BC到G，使CG=BG，然后連接AG即可；
（2）作AC的垂直平分線，交AC于F，連接BF并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)D，再作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)三角形的中位線定理，CE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAC=∠ECF，∠ADF=∠CEF，然后利用“角角邊”可以證明△ADF和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可知CE=AD；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性∠BAC=∠G，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠G=∠BCE，所以與∠ABC相等且以C為頂點(diǎn)的角是∠BCE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定并掌握線段垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵，本題難度較大．