Question

四個(gè)頂點(diǎn)都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內(nèi)接四邊形．如圖，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，且已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．
（1）若點(diǎn)E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點(diǎn)，試求四邊形EFGH的面積；
（2）設(shè)AE=x，AH=y，請(qǐng)?zhí)接懏?dāng)x、y滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．（要求寫(xiě)出過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）直接利用相似多邊形的性質(zhì)，可知面積比等于相似比的平方可求得S_□EFGH=2；
（2）四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形，要成為矩形的前提是四邊形EFGH必須是平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得：△AEH≌△CGF，△AEH∽△BFE，所以根據(jù)成比例線段的關(guān)系可得到

y

x

=

4-x

4-y

，化簡(jiǎn)即可得到x=y或x+y=4，即當(dāng)x、y滿足x=y或x+y=4時(shí)，四邊形EFGH是矩形．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點(diǎn)，
∴□ABCD∽□EFGH，
∴S_□ABCD：S_□EFGH=BC²：EF²=2：1，
∴S_□EFGH=2；

（2）由題意可知△AEH≌△CGF，
∴CF=AH=y，
∵△AEH∽△BFE，
∴

AH

AE

=

BE

BF

即

y

x

=

4-x

4-y

，
化簡(jiǎn)得：（x-y）（x+y-4）=0，
∴x=y或x+y=4，
∴當(dāng)x、y滿足x=y或x+y=4時(shí)，四邊形EFGH是矩形．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及中位線的定理的綜合運(yùn)用．