Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿OA以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿OC、CB以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，且x＞2.5時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形？
（3）四邊形OPQC能否成為等腰梯形？說明理由；
（4）設(shè)四邊形OPQC的面積為y，求出當(dāng)x＞2.5時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出y的最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可分別列出Q點(diǎn)在OC段，CB段的函數(shù)關(guān)系式和P點(diǎn)在DA上的關(guān)系式，按要求進(jìn)行解答即可．

解答：解：先求出各個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)需要的時(shí)間：
∵C（4，3），
∴OC=

42+32

=5，
∵B（14，3），
∴BC=14-4=10，
∴t（Q）=

5+14-4

2

=

15

2

，
t（P）=14，
（1）由題意可知，當(dāng)x＞2.5時(shí)，Q點(diǎn)在CB上運(yùn)動(dòng)，
故橫坐標(biāo)為2x-5+4=2x-1，縱坐標(biāo)為3，故坐標(biāo)為（2x-1，3）；

（2）由平行四邊形的對邊相等可知，2x-5=x，解得x=5；

（3）不能，OPQC成為等腰梯形的條件是P跑到Q的前面去，且x＞2.5這時(shí)的Q和O關(guān)系為
p的橫坐標(biāo)-Q的橫坐標(biāo)=4，
于是列方程：1×x=4+2×（x-2.5）+4，
解得x=-3（舍去），
故OPQC不能成為等腰梯形．

（4）當(dāng)x＞2.5時(shí)，四邊形OPQC是一個(gè)梯形，所以：
y=

3(2x-5+x)

2

=

3(3x-5)

2

因?yàn)閤最大為7.5，而根據(jù)上面的函數(shù)式知道y隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x為最大時(shí)y為最大．
所以，y最大=3×

3×7.5-5

2

=26.25．

點(diǎn)評：要求學(xué)生對直角梯形有一定的掌握，并對點(diǎn)在圖形中的運(yùn)動(dòng)函數(shù)的熟練運(yùn)用．