Question

如圖1，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長；
（2）若以AB為直徑的圓與直線x=m有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）如圖2，把拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位（n＞0），拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，過C、P、Q三點(diǎn)的圓的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值和此時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線解析式與二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而求得AB的長．
（2）由點(diǎn)A，B求得圓的圓心設(shè)為點(diǎn)O，由AB的長度求得圓半徑而得到圓方程，代入x=m求判別式≥0即可．
（3）由拋物線平移后為：，其對(duì)稱軸是x=2．由于過P、Q的圓的圓心必在對(duì)稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點(diǎn)C到圓心的距離要最短，過C作CE垂直拋物線的對(duì)稱軸，垂足為E，則符合條件的圓是以E為圓心，EC長為半徑的圓，求得圓的面積和n的值．
解答：解：由題意：，
解得：x²+3x-4=0，
即x=-4或x=1．
代入求得y=-4或-，
或，
即點(diǎn)A（-4，-4）B（1，-），
則AB=；

（2）由（1）可得A，B中點(diǎn)即圓的圓心點(diǎn)O為（-，-），
半徑為AB=，
∵以AB為直徑的圓與x=m②有公共點(diǎn)，
∴--≤m≤-+，
即-≤m≤；

（3）拋物線平移后為：．
存在．
理由如下：拋物線平移后為：，其對(duì)稱軸是x=2．
由于過P、Q的圓的圓心必在對(duì)稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點(diǎn)C到圓心的距離要最短，過C作CE垂直拋物線的對(duì)稱軸，垂足為E，
則符合條件的圓是以E為圓心，EC長為半徑的圓，
其面積為4π，n的值0.75．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程的綜合運(yùn)用，運(yùn)用直線和二次函數(shù)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，以及通過求二次方程的判別式是否≥0，來判定其是否有解．以及考查拋物線的移動(dòng)問題．