Question

（2012•寧德）如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負(fù)半軸上，且OD=10，OB=8，將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合
（1）直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A（

6

，

0

）、B（

0

，

-8

）；
（2）若拋物線y=-

1

3

x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式是

y=-

1

3

x²+

10

3

x-8

；
（3）若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，問是否存在點(diǎn)M，使△AMN與△ACD相似？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（4）當(dāng)

7

2

≤x≤7時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)P，使△ABP得面積最大，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由OB長，能直接得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC長）長，由勾股定理可得到OA的長，即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)OA、OB以及AD、CD的長，不難發(fā)現(xiàn)∠BAO=∠CAD，那么若題干提到的兩個(gè)三角形若相似，必須滿足夾這對(duì)相等角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，所以分兩種情況，列比例式求解即可．
（4）此題涉及的情況較多，大致分三種情況：點(diǎn)P在x軸下方（分左右兩側(cè)共兩種情況）、點(diǎn)P在x軸上方；可過點(diǎn)P作x軸的垂線，通過規(guī)則圖形間的面積和差關(guān)系得出關(guān)于△ABP的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)的性質(zhì)得到△ABP的面積最大值．

解答：解：（1）由OB=8，得：B（0，-8）．
∵BA由BC旋轉(zhuǎn)所得，∴BA=BC=10；
在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，則：OA=

BA2-OB2

=6，即：A（6，0）．
∴A（6，0）、B（0，-8）．

（2）拋物線y=-

1

3

x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則：

- 1 3 ×36+6b+c=0 c=-8

，
解得

b= 10 3 c=-8

故這條拋物線的解析式：y=-

1

3

x²+

10

3

x-8．

（3）存在．
設(shè)M（m，-

1

3

m²+

10

3

m-8），則N（m，0），MN=|-

1

3

m²+

10

3

m-8|，NA=6-m，又DA=4，CD=8；
①若點(diǎn)M在N上方，

MN

CD

=

NA

DA

，則△AMN∽△ACD；
∴

- 1 3 m2+ 10 3 m-8

8

=

6-m

4

，即 m²-16m+60=0，解得 m=6或m=10．
與點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符．
∴此時(shí)不存在點(diǎn)M，使△AMN與△ACD相似．
若

MN

DA

=

NA

CD

，則△AMN∽△ACD；
則

- 1 3 m2+ 10 3 m-8

4

=

6-m

8

，
∴2m²-23m+66=0，
解得：m=

11

2

或m=6，
∴此時(shí)存在點(diǎn)M（

11

2

，

1

4

），使△AMN與△ACD相似
②若點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，

MN

DA

=

NA

CD

，則△AMN∽△ACD；
∴

1 3 m2- 10 3 m-8

4

=

6-m

8

，即 2m²-17m+30=0，解得 m=

5

2

或m=6；
當(dāng)m=

5

2

時(shí)符合條件；
∴此時(shí)存在點(diǎn)M（

5

2

，-

7

4

），使△AMN與△ACD相似．
若

MN

DA

=

NA

CD

，則△AMN∽△ACD；
則

1 3 m2- 10 3 m-8

8

=

6-m

4

，
∴m²-4m+60=0，
解得：m=10或x=-6，
此時(shí)不存在點(diǎn)M，使△AMN與△ACD相似．
綜上所述，存在點(diǎn)M（

5

2

，-

7

4

）或（

11

2

，

1

4

），使得△AMN與△ACD相似．

（4）設(shè)P（p，-

1

3

p²+

10

3

p-8），在y=-

1

3

x²+

10

3

x-8中，令y=0，得x=4或x=6；
∴

7

2

≤x≤7分為

7

2

≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三個(gè)區(qū)間討論：
①如圖，當(dāng)

7

2

≤x＜4時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則OH=p，HA=6-p，PH=

1

3

p²-

10

3

p+8；
∴S_△ABP=S_△OAB-S_梯形OBPH-S_△APH
=

1

2

•6•8-

1

2

•（

1

3

p²-

10

3

p+8）•p-

1

2

•（6-p）•（

1

3

p²-

10

3

p+8）
=-p²+6p=-（p-3）²+9
∴當(dāng)

7

2

≤x＜4時(shí)，S_△ABP隨p的增大而減��；
∴當(dāng)x=

7

2

時(shí)，S_△ABP取最大值，且最大值為

35

4

．
②如圖，當(dāng)4≤x＜6時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G；
則BH=p，HG=6-p，PH=-

1

3

p²+

10

3

p-8+8=-

1

3

p²+

10

3

p．
∴S_△ABP=S_△BPH+S_梯形PHGA-S_△ABG
=

1

2

•（-

1

3

p²+

10

3

p）•p+

1

2

•（-

1

3

p²+

10

3

p+8）•（6-p）-

1

2

•6•8
=-p²+6p=-（p-3）²+9
∴當(dāng)4≤x＜6時(shí)，S_△ABP隨p的增大而減��；
∴當(dāng)x=4時(shí)，S_△ABP取得最大值，且最大值為8．
③如圖，當(dāng)6≤x≤7時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H；則OH=p，HA=p-6，PH=

1

3

p²-

10

3

p+8．
∴S_△ABP=S_梯形OBPH-S_△OAB-S_△APH
=

1

2

•（

1

3

p²-

10

3

p+8）•p-

1

2

•6•8-

1

2

•（p-6）•（

1

3

p²-

10

3

p+8）
=p²-6p=（p-3）²-9
∴當(dāng)6≤x≤7時(shí)，S_△ABP隨p的增大而增大；
∴當(dāng)x=7時(shí)，S_△ABP取得最大值，最大值為7；
綜上所述，當(dāng)x=

7

2

時(shí)，S_△ABP取得最大值，最大值為

35

4

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了矩形的性質(zhì)、函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)；后兩個(gè)小題涉及了多種情況，容易出現(xiàn)漏解的情況，是本題易錯(cuò)的地方．