如圖,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四邊形CDEF是正方形,連結(jié)AF、BD.
(1)觀察圖形,猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部,請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形,并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母,題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立?若成立,直接寫出結(jié)論,不必證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(1)猜想:AF=BD且AF⊥BD.
    證明:設(shè)AF與DC交點(diǎn)為G.
    ∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
    ∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
    ∴∠BCD=∠ACF.
    ∴△ACF≌△BCD.
    ∴AF=BD.,∠AFC=∠BDC.
    ∵∠AFC+∠FGC="90°," ∠FGC=DGA,
    ∴∠BDC+∠DGA=90°.
    ∴AF⊥BD.
    ∴AF=BD且AF⊥BD.
    (2)如圖,結(jié)論:AF=BD且AF⊥BD.
圖形不惟一,只要符合要求即可.
如:圖1中CD邊在△ABC的內(nèi)部;圖2中CF邊在△ABC的內(nèi)部.
一般線段的關(guān)系有數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,此題AF與DB的關(guān)系是AF=BD且AF⊥BD,要證明它們可以利用等腰直角三角形性質(zhì)和正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件證明△ACF≌△BCD,然后利用全等三角形的性質(zhì)可以解決題目的問題.
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⑵ 如圖3,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上,若∠MBN=∠ABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出猜想,不需證明.

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