Question

如圖，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為圓心作⊙O，點(diǎn)M、N是⊙O上的兩點(diǎn)，M（-1，2），N（2，1）
（1）試在x軸上找點(diǎn)P使PM+PN最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若在坐標(biāo)系中另有一直線AB，A（10，0），點(diǎn)B在y軸上，∠BAO=30°，⊙O以0.2個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，問圓在運(yùn)動(dòng)過程中與該直線相交的時(shí)間有多長？

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)N關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，連結(jié)M、Q交x軸于點(diǎn)P，則P就是使PM+PN最小的點(diǎn)，根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線MQ的解析式，求出當(dāng)y=0時(shí)x的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）M（-1，2）在圓O上，所以根據(jù)勾股定理可求出⊙O的半徑，再根據(jù)OA=10，∠BAO=30°可得出原點(diǎn)O到直線AB的距離為5，當(dāng)圓運(yùn)動(dòng)到圓心到直線AB的距離等于半徑時(shí)圓與直線AB相切，此時(shí)可求出圓心O可在點(diǎn)A左側(cè)或右側(cè)與A的距離，再由⊙O以0.2個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1所示，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，連結(jié)M、Q交x軸于點(diǎn)P，則P就是使PM+PN最小的點(diǎn)，
∵N（2，1），
∴Q（2，-1），
設(shè)直線MQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵M(jìn)（-1，2），Q（2，-1），
∴

-k+b=2 2k+b-1

，
解得

k=1 b=1

，
∴直線MQ的解析式為：y=-x+1，
∵當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

（2）∵M(jìn)（-1，2）在圓O上，
∴圓O的半徑=

22+12

=

5

，
∵OA=10，∠BAO=30°，
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為5，
∴當(dāng)圓運(yùn)動(dòng)到圓心到直線AB的距離OD=

5

時(shí)圓與直線AB相切當(dāng)⊙O在直線AB的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：
∵∠BAO=30°，
∴OA=2

5

，
同理，當(dāng)⊙O在直線AB的左側(cè)時(shí)，圓心與點(diǎn)A的距離也等于2

5

，
∵⊙O以0.2個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，
∴相交時(shí)間=

2 5 +2 5

0.2

=20

5

（秒）．
答：圓在運(yùn)動(dòng)過程中與該直線相交的時(shí)間有20

5

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，熟知圓與直線的位置關(guān)系及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．