【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AB,AC邊上,連接AD,DE,DF,且∠ADE=∠ADF=60°.

小明通過觀察、實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,始終有AE=AF,小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:利用AD是∠EDF的角平分線,構(gòu)造△ADF的全等三角形,然后通過等腰三角形的相關(guān)知識(shí)獲證.

想法2:利用AD是∠EDF的角平分線,構(gòu)造角平分線的性質(zhì)定理的基本圖形,然后通過全等三角形的相關(guān)知識(shí)獲證.

想法3:將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABG,使得AC和AB重合,然后通過全等三角形的相關(guān)知識(shí)獲證.

請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小明證明AE=AF.(一種方法即可)

【答案】見解析

【解析】

想法1:在DE上截取DG=DF,連接AG,先判定△ADG≌△ADF,得到AG=AF,再根據(jù)∠AEG=∠AGE,得出AE=AG,進(jìn)而得到AE=AF;

想法2:過AAG⊥DEG,AH⊥DFH,依據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AG=AH,進(jìn)而判定△AEG≌△AFH,即可得到AE=AF;

想法3:將△ACD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABG,使得ACAB重合,連接DG,判定△AGD是等邊三角形,進(jìn)而得出△AGE≌△ADF,即可得到AE=AF.

證明:

想法1:如圖,在DE上截取DG=DF,連接AG,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠B=C=60°,

∵∠ADE=ADF=60°,AD=AD,

∴△ADG≌△ADF,

AG=AF,1=2,

∵∠ADB=60°+∠3=60°+∠2,

∴∠3=2,

∴∠3=1,

∵∠AEG=60°+∠3,AGE=60°+∠1,

∴∠AEG=AGE,

AE=AG,

AE=AF;

想法2:如圖,過AAGDEG,AHDFH,

∵∠ADE=ADF=60°,

AG=AH,

∵∠FDC=60°﹣1,

∴∠AFH=DFC=60°+∠1,

∵∠AED=60°+∠1,

∴∠AEG=AFH,

∴△AEG≌△AFH,

AE=AF;

想法3:如圖,將△ACD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABG,使得ACAB重合,連接DG,

∴△ABG≌△ACD,

AG=AD,GAB=DAC,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAC=ABC=C=60°,

∴∠GAD=60°,

∴△AGD是等邊三角形,

∴∠ADG=AGD=60°,

∵∠ADE=60°,

G,E,D三點(diǎn)共線,

∴△AGE≌△ADF,

AE=AF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】教師運(yùn)動(dòng)會(huì)中,甲,乙兩組教師參加“兩人背夾球”往返跑比賽,即:每組兩名教師用背部夾著球跑完規(guī)定的路程,若途中球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑,用時(shí)少者勝.若距起點(diǎn)的距離用y(米)表示,時(shí)間用x(秒)表示.下圖表示兩組教師比賽過程中yx的函數(shù)關(guān)系的圖象.根據(jù)圖象,有以下四個(gè)推斷:

①乙組教師獲勝

②乙組教師往返用時(shí)相差2秒

③甲組教師去時(shí)速度為0.5米/秒

④返回時(shí)甲組教師與乙組教師的速度比是2:3

其中合理的是( )

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】
(1)【提出問題】
如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,連結(jié)CN.求證:∠ABC=∠ACN.
(2)【類比探究】
如圖2,在等邊△ABC中,點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C),其它條件不變,(1)中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)【拓展延伸】
如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放,三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合,重疊部分的量角器。 )對(duì)應(yīng)的圓心角(∠AOB)為120°,OC的長(zhǎng)為2cm,則三角板和量角器重疊部分的面積為

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在手工制作課上,老師組織七年級(jí)(2)班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.七年級(jí)(2)班共有學(xué)生44人,其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人,并且每名學(xué)生每小時(shí)剪筒身50個(gè)或剪筒底120個(gè).

1)七年級(jí)(2)班有男生、女生各多少人?

2)要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底,為了使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套,應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身,多少名學(xué)生剪筒底?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2013年5月7日浙江省11個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)如圖所示:
(1)這11個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差、眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(2)當(dāng)0≤AQI≤50時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu).求這11個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量為優(yōu)的頻率;
(3)求寧波、嘉興、舟山、紹興、臺(tái)州五個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一點(diǎn)A從數(shù)軸上表示+2的點(diǎn)開始移動(dòng),第一次先向左移動(dòng)1個(gè)單位,再向右移動(dòng)2個(gè)單位;第二次先向左移動(dòng)3個(gè)單位,再向右移動(dòng)4個(gè)單位;第三次先向左移動(dòng)5個(gè)單位,再向右移動(dòng)6個(gè)單位……

(1)寫出第一次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;

(2)寫出第二次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為

(3)寫出第五次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為

4寫出第次移動(dòng)結(jié)果這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;

(5)如果第次移動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為56,求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O(0,0),A(a,12).點(diǎn)B是拋物線上O,A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C,E.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),求BC的長(zhǎng);
(3)以BC,BE為邊構(gòu)造矩形BCDE,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),求出m,n之間的關(guān)系式.
(4)將射線OA繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點(diǎn)P,求出P點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y= (x﹣m)2 m2+m的頂點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為B,連結(jié)AB,AC⊥AB,交y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使AD=AC,連結(jié)BD.作AE∥x軸,DE∥y軸.

(1)當(dāng)m=2時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求DE的長(zhǎng)?
(3)①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?②過點(diǎn)D作AB的平行線,與第(3)①題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P,當(dāng)m為何值時(shí),以A,B,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

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