Question

【題目】定義：如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上（點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合），如果的三邊滿足，則稱點(diǎn)為拋物線（）的勾股點(diǎn).

（1）求證：點(diǎn)是拋物線的勾股點(diǎn).

（2）如圖2，已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的勾股點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）y=

【解析】

（1）先解方程x2-1=0得拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（-1，0），B（1，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式可得到AM2=2，BM2=2，AB2=22=4，則AM2+BM2=AB2，根據(jù)題中定義可判斷點(diǎn)M（0，-1）是拋物線y=x2-1的勾股點(diǎn)；

（2）作PH⊥AB于H，如圖2，先利用P點(diǎn)坐標(biāo)求出∠PAH=60°，再根據(jù)點(diǎn)P（1， ）是拋物線C的勾股點(diǎn)得到∠APB=90°，所以∠PBA=30°，然后計(jì)算出BH得到B點(diǎn)坐標(biāo)，于是可利用待定系數(shù)法求拋物線C的解析式．

（1）如圖所示：令得，，解得

∴，

∴,,,

∴

∴

∴點(diǎn)是拋物線的勾股點(diǎn).

（2）拋物線過原點(diǎn)，即點(diǎn)

如圖，作軸于點(diǎn)

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴，，

∵點(diǎn)是拋物線的勾股點(diǎn)

∴

∴是直角三角形

設(shè)

∵

∴

∴

∴

∴

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)

將點(diǎn)代入得：

∴