Question

已知：如圖， AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線(xiàn)，點(diǎn)D是AM上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OD , 作BE∥OD交⊙O于點(diǎn)E, 聯(lián)結(jié)DE并延長(zhǎng)交BN于點(diǎn)C．

（1）求證：DC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若AD=l，BC=4，求直徑AB的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，由OE=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由OD與BE平行，得到一對(duì)同位角及一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換得到∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，再由OA=OE，OD=OD，利用SAS得到三角形AOD與三角形EOD全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠OAD=∠OED，根據(jù)AM為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAD=∠OED=90°，即可得證．

（2）過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，垂足為H，由BN與圓O切線(xiàn)于點(diǎn)B，得到∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到ADHB為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到BH=AD=1，AB=DH，由BC-BH求出HC的長(zhǎng)，AD、CB、CD分別切⊙O于點(diǎn)A、B、E，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到AD=DE=1，EC=BC=4，在直角三角形DHC中，利用勾股定理求出DH的長(zhǎng)，即為AB的長(zhǎng)．

試題解析：（1）如圖，連接OE，

在⊙O中，OA=OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．

∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD．

在△AOD和△EOD中，OA＝OE，∠AOD＝∠EOD，OD＝OD，

∴△AOD≌△EOD（SAS）．∴∠OAD=∠OED．

∵AM是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，∴BA⊥AM．

∴∠OAD=∠OED=90°．∴OE⊥DE．

∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，垂足為H，

∵BN切⊙O于點(diǎn)B，∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD．∴四邊形ABHD是矩形．

∴AD=BH=1，AB=DH，∴CH=BC-BH=4-1=3．

∵AD、CB、CD分別切⊙O于點(diǎn)A、B、E，∴AD=ED=1，BC=CE=4．

∴DC=DE+CE=1+4=5，

在Rt△DHC中，，

∴．

考點(diǎn)：1．切線(xiàn)的判定和性質(zhì)；2．全等三角形的判定和性質(zhì)；3．勾股定理，4．等腰三角形的性質(zhì)；5．平行的性質(zhì)；6．矩形的判定和性質(zhì)．