Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N為同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M沿A?D?C?B的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒；點(diǎn)N沿A?B的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/秒．當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形的面積為ycm²．
（1）試求出當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試求出當(dāng)4＜x＜7時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)3＜x＜4時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值；若不相似，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可證∠A=60?，進(jìn)而由三角函數(shù)可求△AMN的面積即y=

3

2

x²．
（2）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G．可證△MGB∽△CFB，即求GM=

3

（7-x），所以△AMN的面積即y=

7 3

2

x-

3

2

x²．
（3）當(dāng)3＜x＜4時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與以B，M，N為頂點(diǎn)的三角形不可能相似．
當(dāng)x=3時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N恰好與點(diǎn)E重合，此時(shí)∠MNA=90?．
當(dāng)3＜x＜4時(shí)，∠MNA必為鈍角．則∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN與△BMN不可能相似．

解答：解：（1）如圖①，過(guò)D作DE⊥AB，垂足為E；過(guò)C作CF⊥AB，垂足為F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30?，∠A=60?
∴在△AMN中，AN=x，高為2x•sin60°=

3

x．
∴y=

1

2

•x•

3

x．即y=

3

2

x²．

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G．
∵M(jìn)G∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=

AD2-AE2

=3

3

，
∴GM：3

3

=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=

3

（7-x）．
∴y=

1

2

x

3

（7-x）．
即y=

7 3

2

x-

3

2

x²．

（3）當(dāng)3＜x＜4時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與以B，M，N為頂點(diǎn)的三角形不可能相似．
當(dāng)x=3時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N恰好與點(diǎn)E重合，此時(shí)∠MNA=90?．
當(dāng)3＜x＜4時(shí)，∠MNA必為鈍角．則∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN與△BMN不可能相似．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意某個(gè)圖形無(wú)法解答時(shí)，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．本題還考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用．