Question

29、滿足方程x²+y²=z²的正整數(shù)x、y、z，我們稱它們?yōu)楣垂蓴?shù)．
（1）已知x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²，請證明x、y、z是一組勾股數(shù)；
（2）求有一個數(shù)是16的一組勾股數(shù)．

Answer 1

分析：（1）欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．
（2）設x²+y²=z²中的y=16，結合勾股數(shù)的特征，求出x，z的值，即可得到有一個數(shù)是16的一組勾股數(shù)．注意答案不唯一．

解答：解：（1）∵x²+y²=（m²-n²）²+（2mn）²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴，
z²=（m²+n²）²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴x²+y²=z²，
∴x、y、z是一組勾股數(shù)．
（2）設y=16，則y=16=2×8×1．取m=8，n=1，
則x=8²-1=63，z=8²+1=65．
∴有一個數(shù)是16的一組勾股數(shù)是63，16，65．

點評：本題考查了勾股數(shù)的概念．解答此題要用到勾股數(shù)的定義，注意正確運用勾股定理的逆定理．