Question

（2012•黃浦區(qū)二模）已知一次函數(shù)y=x+1的圖象和二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象都經(jīng)過A、B兩點，且點A在y軸上，B點的縱坐標為5．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）將此二次函數(shù)圖象的頂點記作點P，求△ABP的面積；
（3）已知點C、D在射線AB上，且D點的橫坐標比C點的橫坐標大2，點E、F在這個二次函數(shù)圖象上，且CE、DF與y軸平行，當CF∥ED時，求C點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)結合A、B兩點的特點，求出A、B兩點的坐標，然后將A、B的坐標代入y=x²+bx+c，即可組成方程組求出b、c的值，從而得到二次函數(shù)的解析式；
（2）畫出二次函數(shù)圖象，畫出一次函數(shù)AB的圖象，將△APB轉化為△APG和△PGB兩個三角形的面積的和來解答；
（3）設C點橫坐標為a，據(jù)題意此推知C點坐標為（a，a+1），D點坐標為（a+2，a+3），E點坐標為（a，a²-3a+1），F(xiàn)點坐標為（a+2，a²+a-1），得到 CE=-a²+4a，DF=a²-4，根據(jù)CE∥DF，CF∥ED，得出四邊形CEDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出-a²+4a=a²-4，或-a²+4a=-a²+4求出a的值，從而得到C點坐標．

解答：解：（1）如圖1，A點坐標為（0，1），
將y=5代入y=x+1，得x=4，
∴B點坐標為（4，5），
將A、B兩點坐標代入y=x²+bx+c，
解得

b=-3 c=1

，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-3x+1．
（2）y=x²-3x+（

3

2

）²-（

3

2

）²+1=（x-

3

2

）²-

5

4

，
P點坐標為（

3

2

，-

5

4

），
拋物線對稱軸與直線AB的交點記作點G，則點G（

3

2

，

5

2

），
∴PG=|

5

2

-(-

5

4

)|=

15

4

，
∴S△ABP=S△APG+S△BPG=

15

2

．
（3）如圖2，設C點橫坐標為a，
則C點坐標為（a，a+1），D點坐標為（a+2，a+3），
E點坐標為（a，a²-3a+1），F(xiàn)點坐標為（a+2，a²+a-1），
由題意，得 CE=-a²+4a，DF=a²-4，
∵且CE、DF與y軸平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴CE=DF，
∴-a²+4a=a²-4，
解得，a1=1+

3

，
a2=1-

3

（舍），
∴C點坐標為（1+

3

，2+

3

）．
當 CE=-a²+4a，DF=-a²+4，
∵且CE、DF與y軸平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴CE=DF，
∴-a²+4a=-a²+4，
解得：a=1，
故C點坐標為：（1，2）當C點坐標為（1，2）時CF不∥ED，舍去．
綜上所述：C點坐標為（1+

3

，2+

3

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積與坐標的關系、平行四邊形的判定等內(nèi)容，以二次函數(shù)為依托，將所有知識有機的結合在一起，考查了學生的綜合思維能力．