Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-

5

2

x+5與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-2，3）并交x軸于點(diǎn)A．
（1）試求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線交y軸于點(diǎn)E，求證：△AOE≌△COB；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小？若存在，請(qǐng)畫(huà)出圖形并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先由直線y=-

5

2

x+5與y軸交于C點(diǎn)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)C、D兩點(diǎn)在直線AC上，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得出OA=OC，再運(yùn)用AAS證明即可；
（3）先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再作出E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF交x軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線DF的解析式，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=-

5

2

x+5與y軸交于C點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵C、D兩點(diǎn)在直線AC上，
∴

b=5 -2k+b=3

，
解得

k=1 b=5

．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+5；

（2）∵直線AC交x軸于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），
∴OA=OC．
在△AOE與△COB中，
∵∠AOE=∠COB=90°，∠OAE=∠OCB=90°-∠B，OA=OC，
∴△AOE≌△COB；

（3）∵△AOE≌△COB，
∴OE=OB=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
作出E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，則F（0，-2）．
連接DF交x軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，此時(shí)PD+PE=PD+PF=DF．
設(shè)直線DF的解析式為y=mx+n，
把D（-2，3），F(xiàn)（0，-2）代入y=mx+n，得

-2m+n=3 n=-2

，
解得

m=- 5 2 n=-2

．
∴直線DF的解析式為y=-

5

2

x-2．
令y=0，得x=-

4

5

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

4

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度中等．