Question

在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的OC邊落在x軸上，∠AOC=60°，OA=．若菱形OABC內(nèi)部（邊界及頂點(diǎn)除外）的一格點(diǎn)P（x，y）滿足：x²-y²=90x-90y，就稱格點(diǎn)P為“好點(diǎn)”，則菱形OABC內(nèi)部“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（ ）
（注：所謂“格點(diǎn)”，是指在平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)．）

A．145
B．146
C．147
D．148

Answer 1

【答案】分析：過(guò)A作AQ⊥OC于Q，過(guò)B作BH⊥X軸于H，求出OQ、AQ，根據(jù)x²-y²=90x-90y，求出x=y，x+y=90，求出BH=90  OA：y′=x（1）y=x時(shí)，有90-1=89個(gè)點(diǎn)符合（2）y=-x+90時(shí)，令y=y'則x=45（-1），y=-x+90時(shí)有90-32-1=57個(gè)點(diǎn)符合，有57+89-1=145個(gè)點(diǎn)符合，即可得到答案．
解答：解：過(guò)A作AQ⊥OC于Q，過(guò)B作BH⊥X軸于H，
∵∠A0C=60°，OA=60，
∴∠OAQ=30°，
∴OQ=30，
由勾股定理得：AQ=90，
∵x²-y²=90x-90y，
∴（x-y）（x+y-90）=0，
∴x=y，x+y=90，
BH=90  OA：y′=x
（1）y=x時(shí)，令y=90 則x=90，
作直線y=x的圖象，交AB于D，
∵AQ=90，
∴D（90，90），
∵邊界及頂點(diǎn)除外
∴y=x時(shí)有90-1=89個(gè)點(diǎn)符合（D點(diǎn)除外），
（2）y=-x+90時(shí)，
∵直線OA的解析式為y′=x，
∴令y=y'則x=45（-1）
∵≈1.732
∴x≈32.9（取x=33），
則直線OA于直線y=-x+90的交點(diǎn)是（45-45，135-45），
再令y=0 則x=90，
∵邊界及頂點(diǎn)除外，
∴y=-x+90時(shí)有90-32-1=57個(gè)點(diǎn)符合，
∴有57+89-1=145個(gè)點(diǎn)符合，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度得直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)已知條件找出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．