Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為（r＞0），若點(diǎn)P′在射線OP上（P′可以和射線端點(diǎn)重合），滿足OP′+OP＝2r，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為8時(shí)，

①若OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，則P1，P2，P3中存在關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)”的是　 　．

②點(diǎn)O關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”的集合是　 　，若P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)在⊙O內(nèi)，則OP取值范圍是　 　；

（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，⊙O的圓心在射線CB上運(yùn)動(dòng)，半徑為1．若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”P′在⊙O的內(nèi)部，求OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P2，P3；②以O為圓心，半徑為16的圓，8＜OP≤16；（2）當(dāng)12﹣2≤OC≤14時(shí)，線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”P′在⊙O的內(nèi)部．

【解析】

（1）①、②運(yùn)用“反演點(diǎn)”的定義進(jìn)行解答即可；

（2）需分兩種情形討論①當(dāng)點(diǎn)O在線段CB上時(shí)，以O為圓心，半徑為2的圓與AB相切于H，確定OC的范圍即可；②當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，確定OC的范圍即可；

解：（1）①根據(jù)⊙O的“反演點(diǎn)”的定義可知：當(dāng)0≤OP≤2r時(shí)，點(diǎn)P存在關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，

∵OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，

∴P2，P3存在關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，

故答案為P2，P3．

②點(diǎn)O關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”的集合是以O為圓心，半徑為16的圓，若P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)在⊙O內(nèi)，則OP取值范圍是

故答案為：以O為圓心，半徑為16的圓；8＜OP≤16；

（2）①當(dāng)點(diǎn)O在線段CB 上時(shí)，以O為圓心，半徑為2的圓與AB相切于H，如圖，

這時(shí)OC＝CB﹣OB＝12﹣2，此時(shí)線段AB上存在點(diǎn)P（即為點(diǎn)H），使得點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”P′在⊙O的內(nèi)部，即為圓心O，當(dāng)圖中點(diǎn)O向點(diǎn)B靠近時(shí)，線段AB上必存在著點(diǎn)P，使得OP≤2，又OP+O P′＝2，

∴O P′＜1，即點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”P′在⊙O的內(nèi)部．

∴12﹣2≤OC≤12

②當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∵OP≥OB，又1＜OP≤2，

∴0＜OB≤2，

∴12＜OC≤14，

綜上所述，當(dāng)12﹣2≤OC≤14時(shí)，線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”P′在⊙O的內(nèi)部．