Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且B（2，1）．矩形OABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF．拋物線y=-

1

4

x²+bx+c經(jīng)過E、B兩點．
（1）請直接寫出點D和點E的坐標(biāo)；
（2）求該拋物線的解析式；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以點O、A、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，求出點P、點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點B的坐標(biāo)求出OA、AB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OD=OA，DE=AB，然后寫出點D、E的坐標(biāo)即可；
（2）把點D、E的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得解；
（3）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為y，根據(jù)平行四邊形與矩形的面積公式列式求出y的值，再代入拋物線解析式求解即可得到點P的坐標(biāo)，然后分點Q在點P的左邊與右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對邊相等寫出點Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵B（2，1），
∴OA=2，AB=1，
∵矩形OABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF，
∴OD=OA=2，DE=AB=1，
∴點D（0，2），點E（-1，2）；

（2）把點B、E的坐標(biāo)代入拋物線y=-

1

4

x²+bx+c得，

- 1 4 ×4+2b+c=1 - 1 4 ×1-b+c=2

，
解得

b=- 1 12 c= 13 6

，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-

1

12

x+

13

6

；

（3）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為y，
∵以點O、A、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，
∴OA•y=2OA•AB，
即2y=2×2×1，
解得y=2，
當(dāng)y=2時，-

1

4

x²-

1

12

x+

13

6

=2，
整理得，3x²+x-2=0，
解得x₁=

2

3

，x₂=-1，
∵點P在第一象限，
∴點P的坐標(biāo)為（

2

3

，2），
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，PQ=OA=2，
當(dāng)點Q在點P的左邊時，點Q的橫坐標(biāo)為

2

3

-2=-

4

3

，
此時點Q的坐標(biāo)為（-

4

3

，2），
當(dāng)點Q在點P的右邊時，點Q的橫坐標(biāo)為

2

3

+2=

8

3

，
此時點Q的坐標(biāo)為（

8

3

，2），
綜上所述，存在點P（

2

3

，2），點Q（-

4

3

，2）或（

8

3

，2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了矩形的對邊平行且相等的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，（3）先求出點P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意點Q的位置不明確，要分情況討論．