Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）(m＞0)，線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)B、D．

【小題1】請直接寫出用m表示點(diǎn)A、D的坐標(biāo)
【小題2】求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
【小題3】點(diǎn)Q為二次函數(shù)圖像上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一點(diǎn)，連結(jié)PQ、BQ，求四邊形ABQP面積的最大值．

Answer 1

【小題1】A(3－m，0)，D(0，m－3 )
【小題2】設(shè)以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝a(x－1)²(a≠0)
∵拋物線過點(diǎn)B、D，
∴   解得 …………4分
所以二次函數(shù)的解析式為y＝(x－1)²，
即：y＝x²－2x＋1 …………5分
【小題3】設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，x²－2 x＋1)，顯然1＜x＜3 …6分
連結(jié)BP，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸，交BP于點(diǎn)H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）
∴AP＝2，BC＝3，PC＝2
由P（1，0），B（3，4）求得直線BP的解析式為y＝2x－2
∵QH⊥x軸，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，x²－2 x＋1)
∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x，2x－2)
∴QH＝2x－2－(x²－2x＋1)＝－x²＋４x－3 …………7分
∴四邊形ABQP面積S＝S_△APB＋S_△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC
＝×2×4＋×(－x²＋４x－３)×2
＝－x²＋４x＋1＝－(x－2)²＋5 …………9分
∵1＜x＜3
∴當(dāng)x＝2時(shí)，S取得最大值為5， …………10分
即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1)時(shí)，四邊形ABQP面積的最大值為5

解析