Question

如圖,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P為AC中點(diǎn),E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),F為邊BC上一點(diǎn),且滿足條件∠EPF=45°, 記四邊形PEBF的面積為S₁.

(1)求證:∠APE=∠CFP;

(2)記△CPF的面積為S₂,CF=x.

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍,并求出y的最大值;

②在圖中作四邊形PEBF關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)圖形,若它們關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱(chēng),求y的值.

(第15題)

Answer 1

 (1)∵　∠ EPF=45°,

∴　∠ APE+∠ FPC=180°-45°=135°.

在等腰直角△ABC中,∠ PCF=45°,

則∠ CFP+∠ FPC=180°-45°=135°,

∴　∠ APE=∠ CFP.

(2)①∵　∠ APE=∠ CFP,且∠ FCP=∠ PAE=45°,

在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,

又　P為AC的中點(diǎn),則AP=CP=2,

如圖(1),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥ AB于點(diǎn)H,PG⊥ BC于點(diǎn)G,

(第15題(1))

∵　E在AB上運(yùn)動(dòng),F在BC上運(yùn)動(dòng),且∠ EPF=45°,

∴　2≤x≤4.

②如圖(2)所示:

(第15題(2))

圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng),則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng),

此時(shí)EB=BF,即AE=FC,