Question

化簡：
（1）cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
（2）
（3）已知關于x的方程，
①k為何值時，方程有兩個實數(shù)根？
②若方程的兩個實數(shù)根x₁，x₂滿足|x₁|=x₂，則k為何值？

Answer 1

解：（1）cot²60°+sin30°+tan36°-4tan45°cos45°-cot54°
=×++tan36°-4×1×-cot54°
=+-2
=1-2；

（2）
=（3-2--）×
=-3；

（3）①∵由題意，得△=[-（k+1）]²-4（）≥0，
∴k≥，
∴當k≥時，此方程有實數(shù)根；
②∵x₁+x₂=k+1＞0，x₁x₂=＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
又|x₁|=x₂，
∴x₁=x₂，
∴△=0，
∴k=．
故若方程的兩個實數(shù)根x₁，x₂滿足|x₁|=x₂，則k為．
分析：（1）先利用tanα=cot（90°-α），可知tan36°=cot54°，再將特殊角的三角函數(shù)值代入，計算即可；
（2）先化簡各二次根式，再根據(jù)混合運算的法則計算即可；
（3）①先求出判別式△的值，由△≥0，解關于k的不等式即可求解；
②先根據(jù)韋達定理判斷x₁＞0，x₂＞0，再根據(jù)|x₁|=x₂，可知方程的判別式△=0，即可求出k的值．
點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，互余角的三角函數(shù)之間的關系，二次根式的計算，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式及韋達定理，難度中等，（3）中第②問先判斷x₁＞0，x₂＞0是解題的關鍵．