Question

在等腰△ABC中，三邊分別為a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞x2-（2k+1）x+4（k-12）=0x2-(2k+1)x+4(k-

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)=0的兩個實(shí)數(shù)根，則△ABC的周長為

10

．

Answer 1

分析：若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=0，據(jù)此可求出b，c的值；再利用a為腰，則b，c必定有一個值為4，進(jìn)而可由三角形三邊關(guān)系定理確定等腰三角形的三邊長，即可求得其周長．

解答：解：∵在等腰△ABC中，三邊分別為a、b、c，其中a=4，b、c恰好關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

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）=0有兩個實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)b=c，則△=（2k+1）²-4×4（k-

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）=0，即4k²-12k+9=0；
解得：k=1.5，此時x₁=x₂=2，
①當(dāng)a為底，b，c為腰時，則2+2=4，構(gòu)不成三角形，此種情況不成立；
②當(dāng)b為底，a，c為腰時，則x²-（2k+1）x+4（k-

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）=0將a=4代入得出：k=2.5，
整理得出：x²-6x+8=0
解得：x₁=2，x₂=4，
∵2+4＞4，
∴能夠構(gòu)成三角形；
此時△ABC的周長為：4+4+2=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理；在求三角形的周長時，不能盲目的將三邊相加，而應(yīng)在三角形三邊關(guān)系定理為前提條件下分類討論，以免造成多解、錯解．