Question

如圖，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠B=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括O，B點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD，BD，也就求出B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法把A，B，O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式；
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-x²+x），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，這樣可以得到S_△OBC=-x²+x，利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD=cos30°=，BD=BO=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）；

（2）將A（2，0）、B（，）、O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得：，
解方程組，，
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-x²+x；

（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-x²+x）（其中0＜x＜），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，
只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，
而|CF|=y_C-y_F=-x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=-x²+x，
∴當(dāng)x=時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
故四邊形ABCO的最大面積為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．