Question

如圖，直線y=-x+3與雙曲線（x＞0）交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于E、F兩點，連結(jié)OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：對于直線y=-x+3，分別令x與y為0求出對應的y與x的值，確定出E、F坐標，即OE、OF的長，過點O作OM⊥AB于點M，則ME=MF，設(shè)出A與B坐標，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出OA=OB，利用三線合一得到AM=BM，根據(jù)S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，得到FB=BM=AM=AE，過A作AN⊥OE，得到三角形OAE面積為三角形OEF面積的四分之一，求出三角形OAE的面積，根據(jù)OE的長求出AN的長，即為A的縱坐標，代入直線解析式求出x的值，即為A的縱坐標，確定出A的坐標，即可求出k的值．
解答：解：令y=0，則-x+3=0，
解得x=3，
令x=0，則y=3，
∴點E（3，0）、F（0，3），
∴OE=OF=3，即S_△EOF=，
過點O作OM⊥AB于點M，則ME=MF，
設(shè)點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯(lián)立，
消掉y得，x²-3x+k=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，x₁•x₂=k，
∴y₁•y₂=k，
∴y₁=x₂，y₂=x₁，
∴OA=OB，
∴AM=BM（等腰三角形三線合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
過A作AN⊥OE，可得S_△OAE=S_△EOF=，
∴×3×AN=，即AN=，
將y=代入y=-x+3中得：x=，
∴點A（，），
則反比例函數(shù)解析式中的k=．
故答案為：
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解得到OA=OB，然后根據(jù)三角形的面積求出點A、B、M是線段EF的四等分點，并求出點A的坐標是解題的關(guān)鍵．