Question

（2013•蘇州一模）如圖，正方形ABCD邊AB在x軸上，且坐標(biāo)分別為A（1，0），B（-1，0），若拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，將正方形繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后D點(diǎn)轉(zhuǎn)到D′位置，且D′在拋物線上，則拋物線的解析式為

y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）

．

Answer 1

分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通過(guò)解該直角三角形即可求得AE、D′E的長(zhǎng)度，從而求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)，然后將其代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-1）（a≠0），從而求得a的值．

解答：解：根據(jù)題意，可設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-1）（a≠0），
如圖，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥x軸于點(diǎn)E．
∵A（1，0），B（-1，0），
∴AB=2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠DAB=90°．
又∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，
∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×

1

2

=1，D′E=AD′sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴D′（2，

3

）．
∵點(diǎn)D′在拋物線上，
∴

3

=a（2+1）（2-1），
解得，a=

3

3

，
∴該二次函數(shù)解析式是：y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）．
故答案是：y=

3

3

（x+1）（x-1）（或y=

3

3

x²-

3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．在求點(diǎn)D′的坐標(biāo)時(shí)，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所對(duì)的直角邊是所對(duì)的斜邊的一半”進(jìn)行解答．