Question

如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數(shù)記為a₃，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數(shù)記為a₄，…，依此類推，由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)記為a_n（n≥3）．
（1）求a₈的值；
（2）當n=999時，求

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

an

的值．

Answer 1

分析：（1）觀察可得邊數(shù)與擴展的正n邊形的關系為n×（n+1），把n=8代入求解即可；
（2）根據(jù)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解即可．

解答：解：（1）n=3時，邊數(shù)為3×4=12；
n=4時，邊數(shù)為4×5=20；
…
n=8時，邊數(shù)為8×9=72；
∴a₈=72；
（2）當n=999時，原式=

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

999×1000

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

999

-

1

1000

=

997

3000

．

點評：考查圖形的規(guī)律性及規(guī)律性的應用；得到邊數(shù)與擴展的正n邊形的關系是解決本題的突破點；根據(jù)

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

求解是解決本題的難點．