Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=4

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，∠C=45°，點P是BC邊上的一個動點．
（1）當BP的長為

 

時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形；
（2）當P在BC邊上運動的過程中，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；
（2）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（1）知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．

解答：解：（1）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：
①當P在E的左邊P′的位置時，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當P在E的右邊P″的位置時，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當x的值為1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（2）由（1）知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形
∴EP=AD=5，
過D作DN⊥BC于N
則DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP=DP，
故此時?PDAE是菱形．
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．

點評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質平行四邊形的性質、菱形的性質等知識來解決問題，要求學生對于這些知識比較熟練，綜合性很強．