Question

已知△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB=

3

，BC=1．連接BF，分別交AC、DC、DE于點P、Q、R．
（1）求證：△BFG∽△FEG；
（2）求出BF的長；
（3）求

BP

QR

=

 

（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）由題意得出FG=

3

，GE=1，BG=3，則

FG

BG

=

EG

FG

，再由∠FGE=∠BGF，得△BFG∽△FEG；
（2）根據(jù)△BFG∽△FEG，得

FG

BG

=

FE

BF

，再由FG=FE，求出BF即可；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)直接得出答案即可．

解答：解：（1）證明：∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，
∴FG=AB=

3

，GE=BC=1，BG=3BC=3，
∴

FG

BG

=

3

3

，

EG

FG

=

1

3

=

3

3

，
∴

FG

BG

=

EG

FG

，
∵∠FGE=∠BGF，
∴△BFG∽△FEG；

（2）由（1）知：△BFG∽△FEG，
∴

FG

BG

=

FE

BF

，
∵FG=FE，
∴BF=BG=3；

（3）∵△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠DEC，BC=CE，
∴AC∥DE，
∴

BP

PR

=

BC

CE

，
∴BP=PR，
同理：CQ∥EF，
∴CQ=

1

2

EF，
∴CQ=DQ，
∵AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴PQ=QR，
∴BP=2QR，
∴

BP

QR

=2．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．