Question

【題目】（1）同題情境：如圖1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：

如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.

∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.

∵AB∥CD.∴PE∥CD.

…………

請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.

（2）問(wèn)題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：

如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.

①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)110°;(2) 詳見(jiàn)解析

【解析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)補(bǔ)充即可；

（2）①過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

②畫(huà)出圖形（分兩種情況（i）點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，（ii）點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）剩余過(guò)程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，

∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．

（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：

過(guò)P作PQ∥AD ．

∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，

同理，，

∴；

②（i）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；

（ii）當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，如圖5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．