Question

（2008•義烏）如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P．
（1）當(dāng)AE=5，P落在線(xiàn)段CD上時(shí)，PD=______；
（2）當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）作CS⊥AB于點(diǎn)S，EG⊥DC，交于DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，利用矩形的性質(zhì)有AD=CS=GE=4，CD=AS=4，結(jié)合Rt△PGE，由折疊的性質(zhì)知PE=AE=5，由勾股定理得出相關(guān)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，即可求得DP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P落在梯形的內(nèi)部時(shí)，∠P=∠A=90°，四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內(nèi)接四邊形，只有當(dāng)直徑EF最大時(shí)，且點(diǎn)A落在BD上時(shí)，PD最小，此時(shí)E與點(diǎn)B重合，由勾股定理得BD的長(zhǎng)，從而求得PD=4-8．
解答：解：（1）過(guò)P作PG⊥AB于G，則四邊形DAGP是矩形，PG=DA=4，
∵PE=AE=5，
∴GE===3，
∴PD=AG=AE-GE=5-3=2；

（2）連接ED，作P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P落在線(xiàn)段ED上時(shí)，PD有最小值，（左圖）
而E在線(xiàn)段AB上，
故當(dāng)E與B重合時(shí)，即EP=BP，此時(shí)PD取最小值．（右圖）
此時(shí)，AB=BP=8，又BD==4，
∴PD=BD-BP=．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．