Question

證明：對(duì)任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長(zhǎng)u，v滿足1≤

u

v

＜

1+ 5

2

Answer 1

分析：設(shè)任意△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c．若結(jié)論不成立，則可證明

a

b

和

b

c

的取值范圍，然后記b=c+s，a=b+t=c+s+t，求得

c+s+t

c+s

和

1+ s c + t c

1+ s c

的取值范圍，再令x=

s

c

，y=

t

c

，根據(jù)條件證明y＜1．

解答：證明：設(shè)任意△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c．若結(jié)論不成立，則必有

a

b

 ≥ 

1+  5

2

①

b

c

≥

1+  5

2

．②
記b=c+s，a=b+t=c+s+t，顯然s，t＞0代入得

c+s+t

c+s

≥

1+  5

2

，

1+  s c +  t c

1+  s c

≥

1+  5

2

，
令x=

s

c

，y=

t

c

則

1+x+y

1+x

≥

1+  5

2

．③
由a＜b＜c，得c+s+t＜c+s+c，即t＜c，于是．y=

t

c

＜1
由②得

b

c

= 

c+s

c

=1+x≥

1+  5

2

，④
由③，④得y≥（

1+  5

2

-1）（1+x）≥

5-1

2

• 

1+  5

2

=1，
此式與y＜1矛盾．從而命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)假設(shè)法證明是解答本題的關(guān)鍵，本題難度較大．