Question

已知：直角梯形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)是O（0，0），A（

3

2

，1），B（s，t），C（

7

2

，0），拋物線y=x²+mx-m的頂點(diǎn)P是直角梯形OABC內(nèi)部或邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，m為常數(shù)．
（1）求s與t的值，并在直角坐標(biāo)系中畫出直角梯形OABC；
（2）當(dāng)拋物線y=x²+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）AB∥x軸，BC∥y軸∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)與C的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．就可以求出s，t的值．
（2）拋物線y=x²+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交，拋物線的開口向上，拋物線與AB相交，因而拋物線的頂點(diǎn)一定在AB上或在AB的下邊，即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)1．用m表示出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，小于或等于1，就可以得到關(guān)于m的不等式，從而解出m的范圍．

解答：解：
（1）如圖，在坐標(biāo)系中標(biāo)出O，A，C三點(diǎn)，連接OA，OC，
∵∠AOC≠90°，
∴∠ABC=90°，
故BC⊥OC，BC⊥AB，
∴B（

7

2

，1）．（（1分））
即s=

7

2

，t=1．直角梯形如圖所畫．（2分）
（大致說清理由即可）

（2）由題意，y=x²+mx-m與y=1（線段AB）相交，
得，

y=x2+mx-m y=1

（3分）
∴1=x²+mx-m，
由（x-1）（x+1+m）=0，
得x₁=1，x₂=-m-1．
∵x₁=1＜

3

2

，不合題意，舍去．（4分）
∴拋物線y=x²+mx-m與AB邊只能相交于（x₂，1），
∴

3

2

≤-m-1≤

7

2

，
∴-

9

2

≤m≤-

5

2

．①（5分）
又∵頂點(diǎn)P（-

m

2

，-

m2+4m

4

）是直角梯形OABC的內(nèi)部和其邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴0≤-

m

2

≤

7

2

，即-7≤m≤0． ②（6分）
∵-

m2+4m

4

=-

(m+2)2-4

4

=-(

m

2

+1)2+1≤1，
（或者拋物線y=x²+mx-m頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大值是1）
∴點(diǎn)P一定在線段AB的下方．（7分）
又∵點(diǎn)P在x軸的上方，
∴-

m2+4m

4

≥0，m（m+4）≤0，
∴

m≤0 m+4≥0

或者

m≥0 m+4≤0

．（8分）
∴-4≤m≤0． （9分） ③（9分）
又∵點(diǎn)P在直線y=

2

3

x的下方，
∴-

m2+4m

4

≤

2

3

×(-

m

2

)，（10分）
即m（3m+8）≥0．

m≤0 3m+8≤0

或者

m≥0 3m+8≥0

，（*（8分）處評(píng)分后，此處不重復(fù)評(píng)分）
∴m≤-

8

3

（11分），或m≥0 ④
由①，②，③，④，得-4≤m≤-

8

3

．（12分）
說明：解答過程，全部不等式漏寫等號(hào)的扣（1分），個(gè)別漏寫的酌情處理．

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合函數(shù)的圖象理解函數(shù)的解析式的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法可以比較容易理解．