【題目】如圖1,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=60mm,高AD=40mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?請你計算。

變式(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖2,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計算.

變式(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖3,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.

【答案】(1)這個矩形零件的兩條邊長分別為mm,mm;

(2)S有最大值時,PN=30mm,PQ=20mm.

【解析】試題分析:(1)設正方形的邊長為xmm,則PN=PQ=ED=x,AE=AD-ED=80-x,通過證明△APN∽△ABC,利用相似比可得到,然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可;

(2)由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,則可設PQ=x,則PN=2x,AE=40-x,然后與(1)的方法一樣求解;(3)設PN=x,用PQ表示出AE的長度,然后根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.

試題解析:(1)如圖1,設正方形的邊長為xmm,則PN=PQ=ED=x,∴AE=ADED=40x,∵PNBC

∴△APN∽△ABC,

,即,

解得x=24.

∴加工成的正方形零件的邊長是24mm;

(2)如圖2,設PQ=x,則PN=2xAE=40x,

PNBC

∴△APN∽△ABC,

,即,

解得:x=,

∴2x=,

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm, mm;

(3)如圖3,設PN=x(mm),矩形PQMN的面積為S(mm2),

由條件可得△APN∽△ABC,

,即,

解得:PQ= .

S=PNPQ=x()=x2+40x= (x30)2+600,

S的最大值為600mm2,此時PN=30mm,PQ=40×30=20(mm).

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