Question

如圖甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）說明△ADC≌△CEB．
（2）說明AD+BE=DE．
（3）已知條件不變，將直線MN繞點C旋轉到圖乙的位置時，若DE=3、AD=5.5，則BE=________．

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵∠ADC=∠BEC，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．

（2）證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（3）證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
∵，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=3、AD=5.5，
∴BE=CD=CE-DE=2.5．
故答案為：2.5．
分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
點評：本題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關鍵，題型較好，綜合性比較強．