如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．拋物線y=ax2+bx過A、C兩點．
（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；
（2）動點P從點A出發(fā)．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．
①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．當(dāng)t為何值時，線段EG最長？
②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形？請直接寫出相應(yīng)的t值．
（1）因為點B的橫坐標(biāo)為4，點D的縱坐標(biāo)為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點A的坐標(biāo)為（4，8）．
將A（4，8）、C（8，0）兩點坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得
16a+4b=8
64a+8b=0
，
解得a=-
1
2
，b=4．
故拋物線的解析式為：y=-
1
2
x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=
PE
AP
=
BC
AB
，即
PE
AP
=
4
8
．
∴PE=
1
2
AP=
1
2
t．PB=8-t．
∴點E的坐標(biāo)為（4+
1
2
t，8-t）．
∴點G的縱坐標(biāo)為：-
1
2
（4+
1
2
t）2+4（4+
1
2
t）=-
1
8
t2+8．
∴EG=-
1
8
t2+8-（8-t）=-
1
8
t2+t．
∵-
1
8
＜0，∴當(dāng)t=4時，線段EG最長為2．
②共有三個時刻．
（①）當(dāng)EQ=QC時，
因為Q（8，t），E（4+
1
2
t，8-t），QC=t，
所以根據(jù)兩點間距離公式，得：
（
1
2
t-4）2+（8-2t）2=t2．
整理得13t2-144t+320=0，
解得t=
40
13
或t=
104
13
=8（此時E、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．
（②）當(dāng)EC=CQ時，
因為E（4+
1
2
t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根據(jù)兩點間距離公式，得：
（4+
1
2
t-8）2+（8-t）2=t2．
整理得t2-80t+320=0，t=40-16
5
，t=40+16
5
＞8（此時Q不在矩形的邊上，舍去）．
（③）當(dāng)EQ=EC時，
因為Q（8，t），E（4+
1
2
t，8-t），C（8，0），
所以根據(jù)兩點間距離公式，得：（
1
2
t-4）2+（8-2t）2=（4+
1
2
t-8）2+（8-t）2，
解得t=0（此時Q、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或t=
16
3
．
于是t1=
16
3
，t2=
40
13
，t3=40-16
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=
3
4
，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC，AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設(shè)AP的長是x，矩形APQR面積為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象是過點（12，36）的拋物線上的一部分．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)AP為何值時，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）如圖，將紙片沿CE對折，使點B落在x軸上的點D處，求D點的坐標(biāo)；
（2）在（1）中，設(shè)BD與CE的交點為P，如果點B、P在拋物線y=x2+bx+c上，求b、c的值；
（3）如果將矩形紙片沿某直線l對折，使點B落在坐標(biāo)軸上的點F處，且BF與l的交點Q恰好落在（2）的拋物線上．除了上述的點D外，這樣的點F是否存在？如果存在，求出點F的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，一次函數(shù)y=x+k圖象過點A（1，0），交y軸于點B，C為y軸負(fù)半軸上一點，且OB=
1
2
BC，過A，C兩點的拋物線交直線AB于點D，且CD∥x軸．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值時x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx+1與x軸交于兩點A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點B作BD∥CA拋物線交于點D，求四邊形ACBD的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正常水位時，拋物線拱橋下的水面寬為20m，水面上升3m達(dá)到該地警戒水位時，橋下水面寬為10m．
（1）在恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中求出水面到橋孔頂部的距離y（m）與水面寬x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過多長時間此橋孔將被淹沒？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A（2，0），B（5，3）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接寫出答案）；
（3）若拋物線與y軸交于C，求△ABC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

問題背景：
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設(shè)矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為：s=-x2+
1
2
x（x＞0），利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值．
提出新問題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（�。┲凳嵌嗌�？
分析問題：
若設(shè)該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(x+
1
x
)（x＞0），問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（�。┲盗耍�
解決問題：
借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（�。┲担�
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的圖象：
x…1/41/31/21234…
y…
17
2
20
3
545
20
3
17
2
…
（2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x=______時，函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）有最______值（填“大”或“小”），是______．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)s=-x2+
1
2
x（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數(shù)y=2(x+
1
x
)（x＞0）的最大（�。┲担宰C明你的猜想．〔提示：當(dāng)x＞0時，x=(
x
)2〕

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形OACB的邊OA，OB分別在x軸上和y軸上，線段OA，OB的長分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩個根，且OA＞OB；點P從點O開始沿OA邊勻速移動，點M從點B開始沿BO邊勻速移動．如果點P，點M同時出發(fā)，它們移動的速度相同，設(shè)OP=x（0≤x≤6），設(shè)△POM的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接矩形的對角線AB，當(dāng)x為何值時，以P，O，M為頂點的三角形與△AOB相似；
（3）當(dāng)△POM的面積最大時，將△POM沿PM所在直線翻折后得到△PDM，試判斷D點是否在矩形的對角線AB上，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案