Question

【題目】如圖，已知四邊形中，，，，.

（1）求四邊形的面積；

（2）動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿方向，向點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿方向，向點(diǎn)運(yùn)動，過點(diǎn)作于點(diǎn).若、兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時整個運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為.問：

①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，是否存在這樣的，使得直線將四邊形的周長平分？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；

②在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①當(dāng)時，將四邊形的周長平分.②或時，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.

【解析】

（1）作交于點(diǎn)，利用勾股定理的逆定理證得四邊形是直角梯形，然后根據(jù)直角梯形的面積公式即可求得；

（2）①利用周長平分，列出方程即可求解；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，分和兩種情況，根據(jù)等角的正切函數(shù)構(gòu)建方程即可求解；當(dāng)點(diǎn)P在AD和DC上時，不可能構(gòu)成與相似的三角形.

（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，

∴四邊形是平行四邊形.

∴；.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴.

∴四邊形是直角梯形.

.

（2）①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴當(dāng)時，將四邊形的周長平分.

②∵，，，

∴點(diǎn)運(yùn)動到時運(yùn)動停止，

∴.

第一種情況：，若，則.

∴.

∴，∴.

若，則，

∴，

∴，∴.

第二種情況：，、、三點(diǎn)不能組成三角形；

第三種情況：，為鈍角三角形與不相似；

∴或時，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.