Question

如圖，在梯形ABCD中，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，點O為BC邊上的動點，連接OD，以O為圓心，OB為半徑的⊙O分別交射線BA于點P，交射線OD于點M，交射線B C于N，連接OP．
（1）求CD的長．
（2）當BO=AD時，求BP的長．
（3）在點O的運動過程中，
①當∠MON=∠POB時，求⊙O的半徑．
②當∠MON=∠POB時，求⊙O的半徑（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AE⊥BC，根據(jù)cosB==求出BE=3，由勾股定理求出AE即可；
（2）過點O作OH⊥AB于H，BH=HP，根據(jù)cosB=求出BH=，根據(jù)垂徑定理求出BP=2BH，代入求出即可；
（3））①設⊙O的半徑為r，當∠MON=∠POB時，有∠BOH=∠MON，此時tan∠BOH=tan∠MON，得出=，求出即可；
②過P作PQ⊥OB于Q，設BO=OP=r，根據(jù)cosB===，求出BH=r，由勾股定理求出OH=r，求出BP=2BH=r，BQ=BP=r，PQ=BP=r，根據(jù)tan∠MON=tan∠BOP得出=，求出方程的解即可．
解答：解：（1）過點A作AE⊥BC，
∵在Rt△ABE中，由AB=5，cosB==，
∴BE=3，由勾股定理得：AE=4，
∵CD⊥BC，AE⊥BC，
∴CD∥AE，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是矩形，
∴CD=AE=4．

（2）∵CD⊥BC，BC=6，
∴AD=EC=BC-BE=3，
當BO=AD=3時，在⊙O中，過點O作OH⊥AB于H，
則BH=HP，
∵cosB=，
∴BH=3×=，
∵OH⊥BP，OH過O，
∴BP=2BH=；

（3）①設⊙O的半徑為r，
∵OH⊥BA，PO=OB，
∴∠BOH=∠BOP，
當∠MON=∠POB時，有∠BOH=∠MON，
此時tan∠BOH=tan∠MON，
∴=，
∴r=，
即⊙O的半徑為；
②過P作PQ⊥OB于Q，
設BO=OP=r，
∵cosB===，
∴BH=OB=r，由勾股定理得：OH=r，
∴BP=2BH=r，
∴BQ=BP=r，由勾股定理得：PQ=BP=r，
∵∠MON=∠BOP，
∴tan∠MON=tan∠BOP，
∴=，
∴=，
r=0（舍去），r=，
即⊙O的半徑為．
點評：本題考查了平行四邊形性質和判定，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．