Question

（2013•太原二模）如圖，在直角坐標系中，等邊△AOB的頂點A的坐標是（0，6），點B在第一象限，拋物線y=ax²-

2 3

3

x經過點B，與x軸交于點C，連接BC．
（1）求拋物線的表達式和∠ABC的度數；
（2）點D是△AOB的邊上的一個動點，不與點O，B重合，若△COD是等腰三角形，則點D的坐標為

D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）

；
（3）點P是x軸上的一個動點，將△AOP繞點A旋轉得到△ABP′．
①當點P與點C重合時，判斷點P′是否在（1）中的拋物線上并說明理由；
②設△POP′的面積為S，直接寫出S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點B作BM⊥x軸于M，根據點A的坐標求出OA的長，再根據等邊三角形的性質求出OB，然后求出∠BOM=30°，再解直角三角形求出BM，OM，從而得到點B的坐標，代入拋物線解析式計算求出a的值，再令y=0，解方程求出點C的坐標，求出CM的長，再根據勾股定理列式求出BC的長，然后求出∠OBC=∠BOC=30°，從而求出∠ABC=90°；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作OC的垂直平分線，與OB、AB的交點即為所求的點D，以點O為圓心，以OC的長度為半徑畫圓，與OA、OB的交點也是所求作的點D，然后分別解直角三角形求出坐標即可；
（3）①點P與點C重合時，根據旋轉的性質可得OP=BP′，∠ABP′=∠AOC=90°，然后求出點P、B、P′三點共線，過點P′作PN⊥x軸于N，求出PP′的長度以及∠P′PN=60°，解直角三角形求出P′N、PN，再求出ON，從而得到點P′的坐標，然后根據二次函數圖象上點的坐標特征進行驗證即可．
②根據BC=2

3

，∠ABC=90°，分（i）x＜-2

3

，（ii）-2

3

＜x＜0，（iii）x＞0三種情況，分別過點B作BE⊥y軸于E，過點P′作P′F⊥BE于F，根據等邊三角形的性質求出OE，再解直角三角形求出PF，然后求出點P′到OP的距離，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過點B作BM⊥x軸于M，
∵A（0，6），
∴OA=6，
∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=OA=6，∠AOB=∠ABO=60°，
∴∠BOM=90°-60°=30°，
在Rt△BOM中，∠BMO=90°，
BM=

1

2

OB=

1

2

×6=3，
OM=

OB2-BM2

=

62-32

=3

3

，
∴點B（3

3

，3），
∵拋物線y=ax²-

2 3

3

x經過點B，
∴a（3

3

）²-

2 3

3

×3

3

=3，
解得a=

1

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2 3

3

x，
令y=0，則

1

3

x²-

2 3

3

x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=2

3

，
∴點C的坐標為（2

3

，0），
∴OC=2

3

，
CM=OM-OC=3

3

-2

3

=

3

，
在Rt△BCM中，BC=

BM2+CM2

=

32+ 3 2

=2

3

，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠BOC=30°，
∴∠ABC=60°30°=90°；

（2）如圖，①點D在OC的垂直平分線上時，點D的橫坐標為

1

2

×2

3

=

3

，
點D在OB上時，點D的縱坐標為

3

×

3

3

=1，
點D在AB上時，點D的縱坐標為6-1=5，
此時D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），
②OC是等腰三角形的腰長時，以點O為圓心，以OC長為半徑畫圓，
點D在OA上時，點D的坐標為（0，2

3

），
點D在OB上時，點D的橫坐標為2

3

•cos30°=2

3

×

3

2

=3，
縱坐標為2

3

•sin30°=2

3

×

1

2

=

3

，
此時D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）；
綜上所述，△COD是等腰三角形時，點D₁（

3

，1），D₂（

3

，5），D₃（0，2

3

），D₄（3，

3

）；

（3）①如圖，點P與點C重合時，可得點P（2

3

，0），
∴OP=2

3

，
∵△AOP繞點A旋轉得到△ABP′，
∴OP=BP′=2

3

，∠ABP′=∠AOC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠ABP′=90°+90°=180°，
∴點P、B、P′三點共線，
過點P′作PN⊥x軸于N，
在Rt△P′PN中，PP′=PB+BP′=2

3

+2

3

=4

3

，
且∠P′PN=∠OBP+∠BOP=30°+30°=60°，
∴P′N=PP′sin60°=4

3

×

3

2

=6，PN=PP′cos60°=4

3

×

1

2

=2

3

，
∴ON=OP+PN=2

3

+2

3

=4

3

，
∴點P′的坐標為（4

3

，6），
當x=4

3

時，y=

1

3

×（4

3

）²-

2 3

3

×4

3

=8≠6，
∴點P′不在拋物線y=

1

3

x²-

2 3

3

x上；
②過點B作BE⊥y軸于E，過點P′作P′F⊥BE于F，
則∠ABE=∠OBE=30°，
∠P′BF=90°-30°=60°，
∵△AOP繞點A旋轉得到△ABP′，
∴OP=BP′=x，∠ABP′=∠AOC=90°，
∵BC=2

3

，∠ABC=90°，
∴（i）如圖1，x＜-2

3

時，點P′在x軸下方，
OE=

1

2

OA=

1

2

×6=3，
P′F=|-x|cos60°=-

3

2

x，
∴點P′到OP的距離為：-

3

2

x-3，
∴△POP′的面積為S=

1

2

|x|•（-

3

2

x-3）=

3

4

x²+

3

2

x，

（ii）如圖2，-2

3

＜x＜0時，點P′在x軸上方，
點P′到OP的距離為：3-P′F=3-（-

3

2

x）=

3

2

x+3，
∴△POP′的面積為S=

1

2

|x|•（

3

2

x+3）=-

3

4

x²-

3

2

x，
（iii）如圖3，x＞0時，點P在x軸上方，P′F=

3

2

x，
點P′到OP的距離為：3+P′F=3+

3

2

x，
∴△POP′的面積為S=

1

2

x•（

3

2

x+3）=

3

4

x²+

3

2

x，
綜上所述，S=

3 4 x2+ 3 2 x(x＜2 3 ) - 3 4 x2- 3 2 x(-2 <style id="km0y9"></style>